曲线积分化简：y=sin(t)换元法的具体步骤是什么？

曲线积分化简疑问

有同学在求解曲线积分时遇到了难题，想知道第三步的化简是如何展开的。

问题分析

原曲线积分表达为：

∫ from 0 to 1 y^2 / √(1 - y^2) dy

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答案解析

第三步中使用了换元法。将 y = sin(t) 代入原积分中，y 在 (0,1) 对应的 t 在 (0,π/2) 范围内，且 sin(t) 和 cos(t) 在该范围内均为正数。

改写后积分式如下：

∫ from 0 to π/2 sin^2(t) / √(1 - sin^2(t)) d(sin t)

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接下来，使用三角恒等式将根号内的表达式化简为 cos(t)，并化简积分极限：

∫ from 0 to π/2 sin^2(t) / cos(t) cos(t) d(sin t)
= ∫ from 0 to π/2 sin^2(t) dt

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至此，即可求出积分结果。

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