不定积分计算中，x² 如何在积分步骤中转化为1/3dx³？

曲线积分计算中的疑惑

对于您提供的积分问题：“$int x^2 sin (x^3) dx$”，您质疑标准答案的正确性。具体而言，您认为第二步中出现的“$x^2$”在第三步中不应该消失。

答案解释

您对标准答案的质疑源于对微分学的基本规则的误解。微分和积分是互逆操作。当对幂函数求导时，幂指数会减小 1。同样，当对幂函数求积分时，幂指数会增加 1。

因此，对于“$x^2$”，其导数为“$2x$”；而其积分则为“$frac{1}{3}x^3$”。这解释了为什么第二步中的“$x^2$”在第三步中变成了“$frac{1}{3}dx^3$”。

完整的积分步骤如下：

$$ x^2dx = frac{1}{3}dx^3$$

$$ int x^2 sin (x^3) dx = int frac{1}{3}sin(x^3)dx^3 $$

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