三角函数公式推导过程及证明

摘要：正弦定理：sin a / sin b = a / b，sin a / sin c = a / c，sin b / sin c = b / c。余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cos a，b² = a² + c² - 2ac cos b，c² = a² + b² - 2ab cos c。

三角函数公式推导过程

正弦定理

推导过程：

设△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。作AH⊥BC于H。

则：

sin A = AH / c
sin B = BH / c
sin C = CH / c

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利用相似三角形关系，得：

AH / BH = BC / AC = b / a
AH / CH = BC / AB = b / c

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代入正弦关系，得：

sin A / sin B = a / b
sin A / sin C = a / c
sin B / sin C = b / c

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这即为正弦定理。

余弦定理

推导过程：

设△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。

则余弦定理为：

a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C

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证明：

作AH⊥BC于H。

则：

a² = AC² = AH² + CH²
b² = AB² = AH² + BH²
c² = BC² = BH² + CH²

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又，∠ACH = ∠ABC = A，∠ABH = ∠BCA = B，∠BAH = ∠CAB = C。

因此，△ACH~△ABC，△ABH~△ABC。

故：

AC / AB = CH / AH = cos A
AB / AC = BH / AH = cos B
AC / AB = BH / CH = cos C

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代入平方关系，得：

a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C

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即证。

以上就是三角函数公式推导过程及证明的详细内容，更多请关注其它相关文章！

Tags： 定理正弦